Antes de abordar las Series de Fourier, es importante conocer conceptos básicos como funciones periódicas, integración y ortogonalidad de funciones. Estos fundamentos permiten comprender cómo una función puede representarse como suma de funciones trigonométricas.
Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionan varias funciones incognitas, las derivadas de esta funcion, las variables con respecto a las que estan definidad y ciertas constantes.
Este sistema tiene el tiempo T como unica variable independiente y dos funciones incognitas x(t) e y(t).
Ejemplo:
Una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden es una ecuacion diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independient. Estas ecuaciones, junto con su condicion inicial, se puede encontar expresadas en forma explicita.
¿Por qué es importante la teoría preliminar?
La teoría preliminar sirve como base conceptual para cualquier investigación, experimento o desarrollo técnico. Permite entender:
¿Por qué es importante la teoría preliminar?
La teoría preliminar sirve como base conceptual para cualquier investigación, experimento o desarrollo técnico. Permite entender:
El contexto del tema a tratar.
Las bases teóricas previas que sustentan el estudio.
Los principales autores, teorías o leyes relacionadas.
Cómo se ha abordado el tema en investigaciones anteriores.
La teoría preliminar es un conjunto de conocimientos fundamentales que permiten comprender el contexto y los principios básicos sobre los que se desarrollará un estudio, proyecto o investigación. Su función principal es ofrecer al lector una base clara y sólida para entender el tema tratado, mostrando conceptos clave, antecedentes históricos o científicos, y las principales ideas desarrolladas por otros autores. Al incluir una teoría preliminar, se establece el marco de referencia necesario para justificar la importancia del tema, facilitar el análisis y sustentar los argumentos que se presentarán más adelante. Además, este apartado permite identificar cómo se ha abordado el problema en otros estudios y qué aportes nuevos se pueden realizar. En la mayoría de los casos, se incluyen definiciones, explicaciones de teorías existentes, normativas relacionadas y ejemplos que conecten directamente con el objetivo del trabajo. Por eso, una teoría preliminar bien redactada no solo demuestra conocimiento, sino que también orienta al lector y refuerza la credibilidad del proyecto.
" Teoria Preliminar"
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Las series de Fourier son una herramienta matemática utilizada para representar funciones periódicas como una suma infinita de senos y cosenos. Esta técnica fue desarrollada por el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier a principios del siglo XIX, y ha tenido un impacto fundamental en áreas como la física, la ingeniería, la informática y el procesamiento de señales. La idea principal es que cualquier función periódica, sin importar su forma, puede descomponerse en una combinación de ondas senoidales simples que, sumadas, se aproximan a la función original. Esto permite analizar señales complejas en términos de sus frecuencias básicas, lo que resulta muy útil en sistemas eléctricos, acústica, análisis de imágenes, y más..
Una serie de Fourier tiene la forma general: f(x) = a₀/2 + Σ [aₙ cos(nωx) + bₙ sen(nωx)], donde los coeficientes aₙ y bₙ determinan la amplitud de cada componente senoidal, y ω es la frecuencia fundamental de la señal..
Por ejemplo, para una función periódica definida por f(x) = x en el intervalo [-π, π], su serie de Fourier es: f(x) = 2(−1)ⁿ+1 / n * sen(nx), lo que significa que esta función puede expresarse como una suma infinita de funciones seno con distintas frecuencias y amplitudes..
Estas series no solo permiten reconstruir funciones, sino que también ayudan a estudiar su comportamiento, analizar su contenido en frecuencia y simplificar el tratamiento matemático de fenómenos físicos. Gracias a esta poderosa herramienta, hoy en día es posible comprimir imágenes y sonidos, resolver ecuaciones diferenciales, y desarrollar tecnologías digitales avanzadas. Con esto se establece una base teórica sólida sobre las series de Fourier, que servirá para comprender con mayor claridad su aplicación práctica en diferentes disciplinas científicas y tecnológicas.
SUBTEMA: Señal Triangular
La señal triangular es una forma de onda periódica con apariencia de triángulo, caracterizada por un ascenso y descenso lineal simétrico. A diferencia de una onda cuadrada, que tiene transiciones bruscas, la señal triangular es continua y suave, lo que la hace útil en sistemas donde se desea una transición gradual entre niveles. Este tipo de señal aparece frecuentemente en electrónica, análisis de audio y sistemas de modulación, y también puede representarse mediante una serie de Fourier, lo que permite descomponerla en una suma infinita de funciones seno o coseno.Ejemplo: Serie de Fourier para una señal triangular centrada en 0
Supongamos que tenemos una señal triangular con período 2π y amplitud 1. Su serie de Fourier es:
Esto significa que la señal triangular se puede aproximar con gran precisión utilizando apenas unos pocos términos de su serie de Fourier. En comparación con una onda cuadrada, cuya serie también tiene armónicos impares pero decae con 1/𝑛 , la señal triangular es mucho más suave debido a esa caída más rápida en la amplitud.
Gracias a esta representación, los sistemas digitales y analógicos pueden sintetizar este tipo de onda usando generadores de señal o mediante programación, lo que resulta esencial en instrumentos musicales, moduladores de frecuencia y simulaciones electrónicas. Esta descomposición por series de Fourier no solo revela la estructura armónica de la señal triangular, sino que también demuestra el poder de las matemáticas para analizar y reconstruir señales complejas en campos reales de aplicación.
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Existen variantes como la serie de Fourier en senos (para funciones impares) y en cosenos (para funciones pares). También es posible construir series en un medio intervalo, útil para problemas definidos en dominios limitados como [0, L].
Las series de Fourier pueden adaptarse para diferentes tipos de funciones y dominios, y estas adaptaciones se conocen como series en senos, series en cosenos y series de medio intervalo. Son herramientas muy útiles para simplificar problemas con condiciones específicas o simetrías particulares.
1. Serie de Fourier en Senos (Serie de Fourier Senoidal) Se utiliza cuando la función a representar es impar y está definida en un intervalo simétrico, normalmente [ − 𝐿 , 𝐿 ] [−L,L]. La función impar cumple 𝑓 ( − 𝑥 ) = − 𝑓 ( 𝑥 ) f(−x)=−f(x). La serie solo contiene términos en senos. Forma general:
¿QUE SON?
Cuando una función se define únicamente en el intervalo [ 0 , 𝐿 ] [0,L], en lugar de extenderla arbitrariamente, se puede extender de manera par o impar para aprovechar las propiedades de las funciones seno y coseno:
Extensión impar → se usa la serie de Fourier en senos.
Extensión par → se usa la serie de Fourier en cosenos.
Esto evita tener que definir la función para valores negativos y simplifica los cálculos en muchos casos físicos o de ingeniería.
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